Email : Ridemtusrenandhito@ymail.com
Ridemtus Renandhito Damar Chrisandi
LOGIKA MATEMATIKA
1.1. ARTI DAN PERAN LOGIKA
Logika adalah ilmu yang mempelajari cara-cara yang meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang beralasan dengan menggunkan yang logis.
Pernyataan dan kalimat terbuka serta ingkarannya adalah suatu rangkaian bunyi (bahasa) yang tersusun secara baik dan bermakna utuh. Dapat dikategorikan dalam dua jenis yaitu :
a) Kalimat Deklaratif
Disebut juga (pernyataan / proposisi) adalah kalimat yang dapat ditentukan kebenarannya, yakni dapat dinilai benar atau salah.
Contoh :
Pantai Sanur terletak di
b) Kalimat NonDeklaratif (bukan pernyataan)
Adalah kalimat yang tidak dapat dipastikan kebenarannya.
Contoh : Temui Pamanmu?
1. Kalimat Terbuka
Adalah suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dipastikan secara langsung (benar atau salah).
Contoh : Tentukan nilai x agar x – 5 = 2
2. Kalimat tertutup (peryataan)
Adalah suatu kalimat nilai kebenarannya dapat dipastikan secara langsung (benar atau salah). Notasi untuk suatu pernyataan ditulis dengan huruf kecil seperti p, q, r.
3. Kalimat Berkuator (Quantifier)
Suatu kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan, yaitu dengan mengganti variable dari suatu kalimat dengan suatu nilai tertentu (konstanta).
a) Kuantor universal
Misalkan p(x) adalah kalimat terbuka yang didefenisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataan :
“ untuk setiap x didalam S, maka p(x) benar “
b) Kuantor Eksistensial
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka yang didefenisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataannya :
“ ada x didalam S sedemikian sehingga p(x) benar”
c) Ingkaran / negasi suatu pernyataan
Dari suatu pernyataan p, dapat dibuat pernyataan lain yang disebut ingkaran/negasi dari p, yaitu dengan cara menuliskan kata :
“tidaklah benar bahwa………”
Simbol dari p adalah ~p.
Jika p benar maka ~p salah
Jika p salah maka ~p benar.
Dapat disusun tabel kebenaran :
P ~P ~(~P)
B S B
S B S
1.2. Konjugsi
Notasi :
Konjugsi dari pernyataan p dan q, dinyatakan dengan notasi : p q (dibaca: p dan q)
Contoh :
1. p = hari hujan
q = matahari bersinar
P q = Hari hujan sedangkan matahari bersinar
2. p = Roni nakal
q = Roni suka berbohong
P q = Roni nakal dan suka berbohong
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q selalu mengikuti ketentuan berikut ini.
Jika p benar dan q benar maka p q benar, dalam hal lain p q salah. Dengan perkataan lain konjugsi dari dua pernyataan adalah benar jika masing-masing komponennya benar.
Dapat ditulis dengan bentuk tabel kebenaran.
P Q P?Q
B B B
B S S
S B S
S S S
Sifat-sifat Konjugsi :
1) p q q p
2) (p q) r p (q r)
3) p ~p S
4) p S S
5) p B p
1.3. Disjugsi
Notasi :
Disjugsi dari pernyataan p dan q dinyatakan dengan notasi : p q ( dibaca p atau q).
Perangkai “ ” bersifat penggabung atau disfungsi.
Contoh :
p = Segitiga ABC adalah siku-siku
q = Segitiga ABC adalah sama kaki
p q = Segitiga ABC adalah siku-siku atau sama kaki.
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q selalu mengikuti ketentuan berikut ini :
Jika p benar atau q benar atau kedua p dan q benar, maka p q benar, dalam hal lain p q salah. Dengan perkataan lain disjungsi dari dua pernyataan adalah salah jika masing-masing komponennya salah.
Ketentuan tersebut dapat ditulis dalam tabel kebenaran berikut ini :
P Q P v Q
B B B
B S B
S B B
S S S
Sifat-sifat disjungsi
Untuk setiap p, q, dan r, selalu berlaku :
1) p q q p
2) (p q) r p (q r)
3) p ~p B
4) p B B
5) p S p
Pembuktian dari sifat-sifat ini dapat dilakukan dengan membuat tabel kebenaran.
P Q ~P P ? Q ~P V (P?Q)
B B S B B
B S S S S
S B B S B
S S B S B
Hubungan Konjungsi dan Disjungsi
Konjungsi dan disjungsi saling berhubungan, hubungan antara keduanya merupakan saling negasi dan oleh De Morgan dituliskan dalam hokum De Morgan berikut ini :
1) Hukum De Morgan
a. ~(p q) ~p ~q
b. ~(p q) ~p ~q
2) Hukum Distributif
Hubungan Konjungsi dan Disjungsi sering dalam hukum distributive berikut ini :
Untuk setiap pernyataan p, q, dan r selalu berlaku :
a. p (q r) (p q) (p r)
b. p (q r) (p q) (p r)
1.4. Implikasi, Konvers, Invers, Kontraposisi, dan Ingkarannya
A. Implikasi atau Pernyataan Bersyarat
Notasi :
Implikasi “jika p maka q” sering dinotasikan dengan : p q.
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q selalu mengikuti ketentuan berikut ini :
Implikasi p q benar, kecuali jika p benar dan q salah. Dengan perkataan lain, suatu pernyataan benar tidak dapat berimplikasi suatu pernyataan salah. Dapat pula ditulis dengan tabel :
P Q P?Q
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh :
Alas an (p) : Kuala Lumpur ibu kota Malaysia
Kesimpulan (q) : 2 x 2 = 5 (S)
p q : Jika kuala Lumpur Ibukota Malaysia maka 2 x2 = s (S)
B. Bimplikasi (Implikasi Dua arah)
Notasi :
Equivalensi p jika dan hanya jika q (p jhj q) sering dinotasikan dengan : p q
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q selalu mengikuti ketentuan berikut ini :
Jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama maka p q benar ; jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang berbeda maka p q salah.
Dapat pula ditulis tabel kebenaran berikut :
P Q P?Q
B B B
B S S
S B S
S S B
Contoh :
p = Universitas
q = 12 : 4 = 3 (B)
p q = Universita
C. Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari suatu Implikasi
Dari pernyataan p q dapat disusun pernyataan-pernyataan implikasi baru yang berbentuk :
a. q p di sebut Konvers
b. ~p ~p disebut Invers
c. ~q ~ disebut Kontraposisi
Equivalensi
Beberapa bentuk pernyataan majemuk mempunyai nilai kebenaran yang sama (equivalent) diantaranya :
a. p q ~p q
q ~p
p q ~q ~p
b. q p ~q p
p ~q
q p ~p ~q
Dari uraian aljabar logika tersebut dapat disimpulkan bahwa :
i. Implikasi Kontraposisi
ii. Invers Konvers
Contoh :
Carilah ingkaran dari invers, konvers, dan kontraposisi untuk implikasi ‘ p q’
Jawab :
a) Ingkaran Invers (p q)
~ (~p ~q)
~p q
b) Ingkaran Konvers (p q)
~(q p)
q ~p
~p q
c) Ingkaran Kontraposisi (p q)
~(~q ~p)
~(q ~p)
~q p
p ~q
1.5. Penarikan Kesimpulan
Adalah suatu penarikan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (disebut premis), melalui langkah-langkah logis dapat diturunkan, suatu pernyataan yang benar (disebut kesimpulan atau konklusi).
Contoh :
Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk dibawaki ini
a. p ~p
b. p ~p
P ~P P V ~P P ? ~P
B S B S
S B B S
A. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)
Modus Ponens adalah suatu argumentasi yang bentuknya dapat dinyatakan sebagai berikut :
Premis 1 : p q
Premis 2 : p
Kontruksi : q
Bukti :
Modus Ponens diatas dapat ditulis sebagai equivalensi antar pernyataan majemuk berikut :
P Q P?Q ((P?Q)?P)?Q
B B B B
B S S B
S B S B
S S S B
B. Modus Tollens (Kaidah penolakan akibat)
Adalah argumentasi yang mempunyai bentuk :
Premis 1 : p q
Premis 2 : ~p
Kontruksi : ~p
C. Silogisme (kaidah penelusuran sebab)
Disebut juga sifat transitif dari implikasi. Silogisme adalah suatu argumentasi yang berbentuk :
Premis 1 : p q
Premis 2 : p r
Kontruksi : p r
Contoh :
1) Modus Ponens
Premis 1 : Jika anwar rajin belajar maka ia naik kelas
Premis 2 : Anwar rajin belajar
Konsklusi : Jadi, Anwar naik kelas
2) Modus Tollens
Premis 1 : jika PQRS belah ketupat maka PR tegak lurus QS
Premis 2 : PR tidak tegak lurus QS
Konklusi : PQRS bukan belah ketupat
1.6. Pembuktian Sifat Matematika (pengayaan)
A. Bukti Langsung
Contoh :
Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat, ganjil n maka bilangan bulat ganjil.
Bukti :
Missal, p = n bilangan bulat ganjil
q = bilangan bulat ganjil
harus dibuktikan = p q bernilai benar
dapat ditulis n = 2a + 1 dengan a bilangan bulat,
diperoleh : =
=
=
= bilangan ganjil (terbukti)
B. Bukti tidak Langsung
Pembuktian tidak langsung dikenal dalam dua macam, yaitu bukti tidak langsung dengan kontraposisi dan bukti tidak langsung dengan kontradiksi.
Contoh :
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, jika bilangan ganjil maka n bilangan ganjil.
Jawab :
Misalkan p = bilangan bulat ganjil
q = n bilangan bulat ganjil
harus dibuktikan : p q bernilai benar
Bukti :
Misal n = 2k dengan k bilangan bulat, diperoleh
=
=
= Bilangan bulat genap (~p)
C. Induksi Matematika
• Tunjukkan kebenaran p(1) untuk n = 1
• Anggap untuk n = k, p (k) benar
• Berdasarkan p(k) benar, harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar (kesimpulan).
Contoh : Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + 7 + …+(2n – 1) = , untuk setiap bilangan asli n.
Jawab :
Misalkan p(n) = = 1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n – 1)
i. Langkah dasar : p(1) = 1 p(1) = = 1
Jadi 1 = 1 ( benar)
ii. Langkah Induksi :
p(k) benar 1 + 3 + 5 + 7 +…+2k – 1 =
iii. Kesimpulan :
Jadi, 1 + 3 + 5 + 7 +…+(2n-1) = (terbukti).
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Grafik fungsi f(x) = - 2x – 8 melalui titik (-2, 0), apakah merupakan pernyataan bernilai benar?
Jawab :
Grafik fungsi f(x) = - 2x – 8 melalui titik (-2, 0)
(-2, 0) y = - 2x – 8
0 = - 2(-2) – 8
0 = 4 + 4 – 8
0 = 0 (bernilai benar)
2. Ingkaran dari pernyataan “Cos sama dengan ” adalah ….
Jawab :
Missal p : Cos sama dengan (bernilai salah)
Maka ~p : Cos tidak sama dengan .
3. Agar kalimat terbuka Sin bernilai benar, maka =…
Jawab :
Sin
Sin = Sin
Atau
Sin + Sin
4. Kalimat Ingkaran dari kalimat : :semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan”
Jawab :
Missal p = Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan.
Maka ~p =
5. Jika p : Ita pintar
q : Rio rajin
maka pernyataan “Ita pintar dan
Jawab :
p = Ita pintar
q = Rio rajin, berarti ~q :
6. Konvers dari pernyataan “ Jika ia rajin maka ia pandai” adalah …
Jawab :
Missal p = ia rajin
q = ia pandai
p q = Jika ia rajin maka ia pandai
konvers dari p q adalah q p
q p : Jika ia pandai maka ia rajin.
7. Kontraposisi dari pernyataan ~p (pv~q)..
Jawab :
Kontraposisi dari p q adalah ~q ~p
Kontraposisi dari ~p (pv~q) adalah ~(pv~q) ~(~p)
(~p q) p
8. Invers dari pernyataan “Jika cuaca cerah maka matahari bersinar” adalah..
Jawab :
Missal p = Cuaca Cerah
q = Matahari bersinar
p q = Jika cuaca cerah maka matahari bersinar
invers dari p q adalah ~p ~q
~p ~q : Jika cuaca tidak cerah maka matahari tidak bersinar.
9. Pernyataan yang equivalent dengan pernyataan :”Jika ia berusaha, maka ia berhasil” adalah…
Jawab :
Missal p : Ia berusaha ~p : ia tidak berusaha
q : Ia berhasil
p q = ~p v q
~p v q : Ia tidak berusaha tetapi ia berhasil.
10. Tentukan pernyataan dari (p v ~q) p, dan (p ~q) p yang merupakan tautology>
Jawab :
P Q ~P ~Q (P V ~Q)?P (P ? ~Q)?P
B B S S B B
B S S B B B
S B B S S B
S S B B S B
